Wie entkommt man einem Löwen in einer Arena?

Stellen wir uns eine kreisförmige Arena vor. Darin befinden sich ein Mensch und ein Löwe. Beide können exakt gleich schnell laufen. Der Löwe verwendet irgendeine Strategie, zum Beispiel jederzeit direkt auf den Menschen zuzulaufen (Hundekurve).

Wie überlebt der Mensch?

Geradeaus vom Löwen wegzulaufen, hilft nicht – irgendwann erreicht man den Rand der Arena. Im Kreis zu laufen auch nicht – der Löwe kann die Kurven schneiden und kommt dadurch immer näher.

Intuitiv scheint die Sache aussichtslos.

Überraschend ist das Ergebnis von Besicovitch (1952): Es gibt tatsächlich eine Strategie, mit der der Mensch dem Löwen unbegrenzt lange entkommt – und trotzdem in der Arena bleibt.

Die Idee ist, Bewegung nicht als glatte Bahn zu verstehen, sondern als Folge immer kürzerer Fluchtabschnitte: erst t1, dann t2, dann t3, … Die Richtungen werden dabei geschickt gewählt (jeweils senkrecht zur Verbindung zum Mittelpunkt der Arena). Dabei entsteht – grob gesprochen – eine spiralförmige Laufbahn.

Damit diese Strategie funktionieren kann, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein. Die gesamte Laufzeit muss unendlich werden:

t1 + t2 + t3 + … = unendlich

Aber gleichzeitig muss die räumliche Ausdehnung endlich bleiben. Nach einer kleinen Rechnung  führt das zu folgender Bedingung:

t1*t1+ t2*t2 + … ist endlich.

Dass beides gleichzeitig möglich ist, zeigt ein klassisches Beispiel:

1+ 1 / 2 + 1/3 + … = unendlich,

während gleichzeitig

1 + 1 / 4  + 1/9 + 1/ 16 + … endlich bleibt

Obwohl also unendlich lange gelaufen wird, bleibt die Bewegung innerhalb einer endlichen Fläche.

Der Löwe verliert nicht wegen der Geschwindigkeit.

Er verliert gegen die Mathematik.